Travaux dirigés de probabilités n°2

 

Exercice n°1

Dans une urne, il y a quatre jetons numérotés de 1 à 4. On réalise l’expérience suivante : on tire un jeton, on note son numéro, on remet le jeton dans l’urne et on tire un deuxième jeton dont on tire le numéro.

1) On s’intéresse aux couples de nombres obtenus. Ecrire l’univers des résultats. Y a-t-il équiprobabilité sur cet ensemble ?

2) On s’intéresse à la somme des nombres obtenus. Ecrire l’univers des résultats. Y a-t-il équiprobabilité sur cet ensemble ?

3) On note P1 l’évènement « obtenir un nombre pair au 1er tirage ». Ecrire à l’aide des évènements P1 et P2 les évènements suivants :

A : « obtenir au moins un nombre pair »     B : « obtenir exactement une fois un nombre pair »

Les inclusions suivantes sont-elles vraies ? AB ; BA

4) a- Calculer la probabilité des évènements P1 et P2 puis de l’évènement P1P2

En déduire la probabilité de l’évènement A.

 

Exercice n°2

Soit une expérience dont l’univers est noté.

1) Soient deux évènements incompatibles A et B detels que p(A) = 0,3 et p(B) = 0,4.

Calculer p(AB), p(AB), p(),p(),p().

2) Soient deux évènements E et F de tels que p(E) = 0,8 et p(F) = 0,4

a- E et F peuvent-ils être incompatibles ? Pourquoi ?

b- Si p(EF) = 0,3, que vaut p() ?

 

Exercice n°3

Un médecin généraliste a constaté que pendant l’hiver un patient sur deux se plaint de difficultés respiratoires, un patient sur trois se plaint de rhumatismes et que trois patients sur quatre se plaignent de l’une ou de l’autre de ces affections.

1) Lorsque le médecin reçoit un patient pendant l’hiver, quelle est la probabilité pour que ce patient se plaigne à la fois de difficultés respiratoires et de rhumatismes ?

2) Quelle est la probabilité que le patient ne se plaigne ni de l’un, ni de l’autre et vienne pour un tout autre problème ?

 

Exercice n°4

Dans un jeu de 32 cartes, on distingue quatre couleurs (trèfle, pique, carreau, cœur) et dans chaque couleur huit valeurs (as, roi, dame, valet, dix, neuf, huit, sept). D’un tel jeu, on prélève au hasard et simultanément cinq cartes dont on dit qu’elles constituent « une main ».

Quelle est la probabilité pour qu’une main contienne

a- Un as exactement ?     b- Au moins un as ?

On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

 

Exercice n°5

Un jury de cour d’assises est composé de huit jurés désignés par tirage au sort dans une liste de quarante noms. Cette liste est composée de 22 femmes et 18 hommes.

1) Combien de jurys différents peut-on former ?

2) Quelles sont les probabilités pour qu’un jury soit composé :

a- Uniquement de femmes ?     b- De cinq femmes ?     c- D’un nombre égal d’hommes et de femmes ?

 

Exercice n°6

Dans une urne, on a placé dix boules rouges et un certain nombre de boules vertes. Lorsqu’on tire au hasard une boule de cette urne, la probabilité que la boule tirée soit verte est. Quel est le nombre de boules vertes ?

 

Exercice n°7

Un roi sanguinaire a imaginé le jeu suivant : il fait arrêter quelques uns de ses sujets et les fait conduire devant un sac contenant 1000 jetons numérotés de 1 à 1000. Ils doivent alors tirer trois fois un jeton dont on note le numéro avant de le remettre dans l’urne. Le roi leur demande de choisir dans quel cas ils seront pendus : soit lorsque le produit des trois nombres est pair soit dans le cas contraire.

Quelle est la probabilité pour un sujet d’être pendu – s’il connaît le calcul des probabilités ?

- s’il ne le connaît pas ?

 

Exercice n°8

Au loto sportif, le joueur doit remplir une grille où il indique les résultats qu’il prévoit pour 13 futurs matchs de football. Les trois réponses possibles sont 1, N, 2. Quelles sont les probabilités des évènements suivants ?

a- 13 bonnes réponses          b- 13 réponses fausses

c- Les trois premières réponses sont vraies, les autres sont fausses          d- Trois réponses bonnes.

 

Exercice n°9

Une urne contient dix boules rouges et quatre boules blanches. On tire simultanément cinq boules et l’on suppose l’équiprobabilité.

1) Quelle est la probabilité d’avoir deux boules blanches et trois rouges ?

2) Quelle est la probabilité d’avoir au moins une boule blanche ?

 

Exercice n°10

Cinq personnes se donnent rendez-vous dans l’un des cinq cafés d’un village. Chaque personne choisit au hasard un des cafés.

1) Quelle est la probabilité pour que les cinq personnes se retrouvent dans cinq cafés différents ?

2) Quelle est la probabilité pour que les cinq personnes se retrouvent dans le même café ?

3) Quelle est la probabilité pour qu’au moins deux personnes se retrouvent dans le même café ?

 

Exercice n°11

Dans une fabrication en série, parmi N pièces usinées, M sont à mettre au rebut. On prend au hasard un échantillon de n pièces. Quelle est la probabilité pour que cet échantillon contienne k pièces défectueuses ?

 

Exercice n°12

On lance simultanément deux dés numérotés de 1 à 6.

Déterminer l’univers et son cardinal dans les cas suivants :

a- Les dés sont distincts          b- Les dés sont identiques.

Les évènements élémentaires sont-ils équiprobables ?

 

Exercice n°13

A, B et C sont des évènements quelconques. Exprimer les évènements suivants :

1) Seul A se produit.          2) Les trois évènements se produisent.

3) Au moins un évènement se produit          4) Au moins deux évènements se produisent.

5) Un seul évènement se produit          6) Aucun évènement ne se produit.

 

Exercice n°14

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

1) Le contraire de « avoir un menu avec salade et viande rouge » est « avoir un menu sans salade, ni viande rouge ».

2) Le contraire de  « n’obtenir aucun six au cours de trois lancers consécutifs d’un dé de six faces » est « obtenir au moins un six au cours d’un dé de six faces ».

3) Le contraire de « obtenir deux PILE en lançant deux pièces » est « obtenir deux FACE en lançant deux pièces ».

4) Le contraire de « avoir une journée sans soleil et pluie » est « avoir une journée avec du soleil ou de la pluie ».

 

Exercice n°15

Soitun univers fini non vide et p : P() R une probabilité sur . Soient A et B deux sous-ensembles de  tels que p(A) = 0,6          p(AB) = 0,1          AB=.

Calculer, si possible, Calculer p(),p(B), p(A), p(),p(B).

 

Exercice n°16

En région parisienne, on interroge au hasard une personne d’un groupe. La probabilité qu’elle soit née à Paris est de 0,4 ; la probabilité qu’elle travaille à Paris est de 0,5 et la probabilité qu’elle travaille et qu’elle soit née à Paris est de 0,2.

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

1) L’énoncé comporte une erreur car 0,4 + 0,5 + 0,2 > 1

2) La probabilité que la personne travaille à Paris où soit née à Paris est de 0,7.

3) Il y a une chance sur deux pour que la personne ne travaille pas à Paris.

 

Exercice n°17

Une enquête effectuée dans une cantine scolaire donne les résultats suivants :

- La probabilité qu’un enfant aime les yaourts est de 0,6

- La probabilité qu’un enfant aime les petits-suisses est 0,5.

- La probabilité qu’un enfant aime les yaourts et les petits-suisses est 0,2.

Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

a- Un enfant aime les yaourts ou les petits-suisses.

b- Un enfant n’aime ni les yaourts, ni les petits-suisses.

c- Un enfant aime les yaourts mais pas les petits-suisses.

 

Exercice n°18

Un enquêteur d’une entreprise de sondage s’adresse à un groupe de vingt personnes au sujet de leurs loisirs : dix personnes s’intéressent à la pêche, huit s’intéressent à la lecture et trois s’intéressent à la fois à la pêche et à la lecture.

1) Combien de personnes dans ce groupe ne s’intéressent ni à la pêche ni à la lecture ?

2) L’enquêteur interroge au hasard une personne du groupe. On suppose que chacune des personnes du groupe à la même chance d’être choisir par l’enquêteur. Quelles sont les probabilités pour que l’enquêteur choisisse :

a- Une personne s’intéressant à la pêche ?

b- Une personne s’intéressant à la pêche ou à la lecture ?

 

Exercice n°19

1) Une porte est munie d’une serrure à digicode portant les touches 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D. La porte s’ouvre lorsque l’on frappe dans l’ordre trois chiffres et deux lettres qui forment un code. Les chiffres sont nécessairement distincts, les lettres non.

a- Quel est le nombre de codes que l’on peut composer ?

b- Quelle est la probabilité pour qu’un code, tapé au hasard, contienne les chiffres 1, 2 et 3 ?

c- Quelle est la probabilité pour qu’un code, tapé au hasard, contienne le chiffre 7 ?

2) Le fonctionnement du digicode est modifié : la porte s’ouvre lorsque l’on frappe dans l’ordre trois chiffres et deux lettres qui forment un code. Les chiffres ne sont pas nécessairement distincts, les lettres non plus.

a- Quel est le nombre de codes que l’on peut composer ?

b- Quelle est la probabilité pour qu’un code, tapé au hasard, contienne les chiffres 1, 2 et 3 ?

c- Quelle est la probabilité pour qu’un code, tapé au hasard, contienne au moins une fois le chiffre 7 ?

 

Exercice n°20

On dispose d’un dé à six faces numérotées de 1 à 6. On jette ce dé trois fois de suite pour former un nombre de trois chiffres : le chiffre des centaines est obtenu pour le premier jet, le chiffre des dizaines est obtenu pour le deuxième jet, le chiffre des unités est obtenu pour le troisième jet. On suppose que tous les résultats possibles ont la même probabilité d’être obtenus. Calculer la probabilité des évènements suivants :

a- « le nombre obtenu commence par 2 »

b- « le nombre obtenu ne contient que des chiffres pairs »

c- « le nombre obtenu est formé de chiffres identiques »

d- « le nombre obtenu est formé de chiffres distincts »

e- « le nombre obtenu contient au moins deux fois le même chiffre ».

 

Exercice n°21

Dans un jeu de 32 cartes on tire cinq cartes au hasard. Calculer la probabilité des évènements :

a- « obtenir cinq piques »          b- « obtenir cinq cartes de la même couleur »

c- « obtenir un carré » (c’est-à-dire quatre cartes de même valeur)          d- « obtenir au moins un roi ».

 

Exercice n°22

Un grand condor du zoo mange des mulots. La réserve de mulot héberge cinq mulots blancs dont deux femelles et sept mulots gris dont trois femelles. Le gardien chargé de sa nourriture, attrape au hasard deux mulots. Calculer les probabilités des évènements suivants :

a- les deux mulots sont gris          b- les deux mulots sont des femelles

c- c’est un couple de la même couleur          d-les deux sont de la même couleur.

 

Exercice n°23

Le problème de Galilée.

Un jour, le prince de Toscane demande à Galilée : « Pourquoi lorsqu’on effectue trois lancers d’un dé, obtient-on plus souvent la somme 10 que la somme 9 bien que ces deux sommes soient obtenues chacune de 6 façons différentes ? »

Qu’auriez-vous répondu, sachant qu’effectivement :

9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 4 + 3 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3

10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4

 

Exercice n°24

Une urne contient 100 jetons indiscernables au toucher. 98 sont rouges, 2 sont verts.

1) On prélève simultanément et au hasard 12 jetons. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un jeton vert ?

2) Combien faut-il prélever simultanément de jetons pour que la probabilité d’avoir tiré au moins un jeton vert soit supérieure à 4/5 ?

 

Exercice n°25

Etant données trois personnes choisies au hasard, quelle est la probabilité pour que :

1) Elles soient, toutes trois, nées le même mois de l’année ?

2) Elles soient, toutes trois, nées à des mois différents de l’année ?

3) Il y en ait deux d’entre elles, et deux seulement, qui soient nées le même mois de l’année ?

 

Exercice n°26

23 personnes sont dans la même salle. Quelle est la probabilité pour que ces deux personnes au moins aient le même jour anniversaire ?

 

Exercice n°27

Une caisse contient dix pièces métalliques identiques dont quatre sont fabriquées sur la machine M et six par la machine m.

1) On prélève simultanément trois pièces. Calculer :

a- La probabilité p1 pour que les trois pièces aient été fabriquées par la même machine ?

b- La probabilité p2 pour qu’au moins une pièce ait été fabriquée par la machine M.

2) Mêmes questions si l’on tire successivement avec remise trois pièces.

3) Mêmes questions si on tire successivement sans remise trois pièces.

 

Exercice n°28

Une porte est munie d’une serrure à digicode portant les touches 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D. La porte s’ouvre lorsqu’on frappe dans l’ordre trois chiffres et deux lettres qui forment un code. Les chiffres sont nécessairement distincts, les lettres non. On suppose que les manipulateurs du dispositif connaissent le mode d’emploi.

1) Quelle est la probabilité pour qu’une personne ouvre la porte au premier essai dans les cas suivants :

a- Elle ignore le code

b- Elle se souvient des trois chiffres mais pas de l’ordre dans lequel ils doivent être frappés.

2) Le manipulateur se souvient que les deux lettres sont identiques. Quelle est la probabilité qu’aucun des trois chiffres et la lettre qu’il tape soit dans le code ?